Çocukta Sayı Hissi ve Geliştirilmesi

Çocukta Sayı Hissi ve Geliştirilmesi

Matematik, neden bazı kişilere çok zor gelirken bazıları için oldukça kolaydır? İlkokul çağında çocuklar matematikte akranlarından geri kalıyor, zorlanıyorlarsa ne yapılmalıdır? Bu durum sadece ilgi ve çaba ile açıklanabilir mi? Yoksa bu durumun bilişsel temelleri var mıdır? Çocuk çaba göstermediği için mi yapamamaktadır, yoksa yapamadığı, zor geldiği için mi çaba göstermemektedir?

Bu soruların yanıtlarını tam olarak elbette bilemiyoruz. Ancak yanıtın önemli ölçüde sayı hissi denilen bir çeşit matematik algısı ya da algılama yeteneği ile yakından ilgili olduğunu biliyoruz. İnsan ve hatta bazı hayvan türlerinin biliş sisteminin doğuştan gelen ve genetik aktarımla taşınan bazı çekirdek sistemlerle donatıldığı ve bu sistemlerden biri sayı, diğeri uzay olmak üzere ikisinin matematik öğrenebilme yeteneğinin ilk kartopunu oluşturduğu iddia edilmektedir.

Sayı çekirdek sistemi sayısal çoklukları iki farklı şekilde algılamaktadır. Bunlardan biri sayının tam değerine odaklanırken diğer sistem ise sayının yaklaşık değerinde uzmanlaşmaktadır. Eğer algılanacak görsel çokluk, örneğin bir grup insan ya da bir grup bilye sayısal olarak 5’ten az ise grubun sayısı tam olarak algılanabilmektedir. Bu sistemin hayvanlarda da olduğunu söylemiştik. Nereden biliyoruz bunu? Örneğin, bu yaklaşık sayı sistemi sayesinde aslanlar kendilerinden daha kalabalık olan sürülere saldırmamaktadırlar. Neredeyse yeni doğmuş bebekler bile tam sayı sistemi sayesinde biri, ikiden ve ikiyi, üçten ayırabilmekte ve daha çok bisküvi olan kabı tercih etmektedirler. Ancak bu durum bazen yanılmalarına da neden olmaktadır. Örneğin 3 tane 1 Lira vererek ellerindeki 5 Lira’yı almak isteseniz buna çok memnun olurlar. Bu da çoklukları sembolleştirmekte henüz yeterince olgunlaşmadıklarını göstermektedir. 

Yine sayı çekirdek sisteminde olan ve canlılar arasında sadece insana has bir özellik olan çokluk ve ilişkileri sembollere dönüştürme ya da tersine sembolden çokluk ve ilişkileri anlama işlevlerini yerine getiren bir sembol agılama mekanizması bulunmaktadır. Bu 3 alt sistemin uzay çekirdek sisteminden de yararlanarak bir etkileşim içinde öncelikle sayıları anlama, daha sonra onlar üzerinde işlemler yapma olanağını sağlamaktadır. Bu sistemlerin kullanılmasındaki etkililik ve akıcılık kişideki sayı hissi hakkında bizlere fikir verebilmektedir. 

İlköğretim (anaokulu-8. Sınıf) öğrencilerinde sayı hissini ölçtüğü ve hatta geliştirdiği düşünülen bazı uygulamalar geliştirilmiştir. TED Üniversitesi’nde yürütmüş olduğumuz TÜBİTAK destekli araştırmalarda [1] elde ettiğimiz verilerle de doğruladığımız ve geliştirdiğimiz bu uygulamaların bu yaş öğrencilerinde öğretim programına dayalı matematik başarısının ve hesaplama becerilerinin önemli bir bölümünü açıkladığı görülmüştür. 

Bu yazımızda ilköğretim öğrencileri için sayı hissi deyince ne anlamamız ve bu hissiyatın geliştirilmesi için ne yapmamız gerektiği üzerinde duracağız. Sayı hissini kısaca, sayısal içerikli problemlerin çözümü esnasında sayının esnek ve akıcı bir şekilde kullanılması olarak tanımlayabiliriz. Özellikle tahmin ve zihinden yaklaşık hesap yapma becerileri ile hem gelişen hem de bu becerilerin gelişmesine katkı sağlayan bir iç görüdür, sayı hissi. Sayının göreceli büyüklüğünü ve sayının bir bağlam içindeki büyüklüğünü ya da anlamını kavrama ve buna uygun kararlar verebilme de yine sayı hissinin kapsamı içerisine girmektedir. Sayı hissinin bir başka göstergesi de bir sayıyı başka sayılardan oluşacak şekilde (örneğin; 10= 6+4, 10=8+2 veya 2x6 = 4x3) görebilmektir. Yani sayılar arası ilişkileri hızlıca fark edebilmektir. Bu örnekte bahsedilen sayı hissi temelde doğal sayılarla işlemlere dayalıdır. Ancak sınıflar ilerledikçe tam sayı, kesir ve ondalık sayılar için de uyarlamalar yapılması olanaklıdır. 

Sayı hissini doğrudan öğretmek mümkün değildir. Sayı hissi yukarıda belirtildiği gibi önemli ölçüde doğuştan getirilen bir yeteneğin uzantısıdır. Ancak her yetenek gibi insanın sayı hissi de belli ölçülerde geliştirilebilir. Çocuklarda sayı hissini geliştiren belli başlı etkinlikler vardır. Bu etkinlikler çocuğun yaşına ve matematiksel düzeyine uygun olarak seçilmelidir. Etkinliklerde bulunan fiziksel ve zihinsel eylemlerin çocuk tarafından yapılması hayati öneme sahiptir. Öğretmen ya da veli sadece yol gösterici olmalıdır. Fiziksel ve düşünsel asıl eylemi mutlaka öğrenci yapmalıdır. Ancak kimi zaman çocuğa model olmak adına örnekler yapılabilir. Unutulmamalıdır ki, matematik sadece taklitle ve tekrar ederek öğrenilemez. Matematiği anlamlı ve işlevsel olarak öğrenmek için anlamak, anlamak için de düşünmek ve yapmak önemlidir. Yanlış yapıldığında bile mutlaka öğrenilecek bir şeyler vardır. Bu nedenle çocuğun bulunduğu düzeyin hemen üzerindeki bir etkinlik ancak çocuğun öğrenme alanına girebilir. Problem durumu çocuğun mevcut bilgi ve becerisiyle yapılabilir olmalıdır. 

Sayı hissini geliştiren etkinlikleri birkaç ana grupta toplamak pratik açıdan yararlı olabilir. Bunlar şipşak sayılama [2-4], sayının göreceli büyüklüğü [5], algısal tahmin, bağlamsal tahmin [6] ve zihinden yaklaşık hesap [7] olarak sıralanabilir. 

Şipşak sayılama; 5’ten küçük görsel çoklukların bir bakışta tam olarak algılanması anlamına gelmektedir. Hesaplama becerileri bu algı ve bunun büyük çokluklar üzerine uygulanması sayesinde gelişmektedir. Örneğin Şekil 1’de bulunan nokta sayılarının farklı öğrencilerce nasıl bulunduğunu inceleyelim. Öncelikle şunu kesinlikle söyleyebiliriz ki daha gelişmiş stratejiler kullanarak birinci gruptaki noktaların sayısı daha hızlı bulunmaktadır. Noktaların 3 tane 3’lük grup halinde görülmesi bir aşama; bunların çarpma, toplama ya da birer ikişer sayma ile birleştirilmesi ise başka bir aşamadır. Her iki aşamada kullanılan stratejilerdeki farklılıklar öğrencilerin bu işi yapmakta farklı süreler harcamasına neden olmaktadır. Bu da onların matematik öğrenme hızları hakkında bize fikir vermektedir. Aynı durum dağınık halde dizilmiş noktalarda da benzer sonuçlara neden olmaktadır. 

Şekil 1. Domino nokta sayılama ve rasgele nokta sayılama görevleri

Şimdi de sayının göreceli büyüklüğü üzerinde duralım. Örneğin 27 büyük bir sayı mıdır? Ne kadar büyüktür? Bu soruların yanıtları takdir edersiniz ki diğer sayılara bağlıdır. Bunun için araştırmacılar zihinsel sayı doğrusu [8] dedikleri bir araç geliştirmişlerdir. Çocuğun sayabildiği sayıların göreceli büyüklüğünü de öğrenmeleri için birkaç etkinlik örneği verelim. Bu etkinliklerdeki 0-10 arası sayı doğrusu anasınıfı ve birinci sınıf için kullanılabilirken, aynı büyüklükte çizilecek 0-100 arası sayı doğrusu ise öğrencilerin durumuna bakılarak yani daha önceki etkinlikleri yapabilmeleri şartıyla birinci sınıftan beşinci sınıfa kadar kullanılabilir. Yine 0-1000 arası olan sayı doğrusu ise daha öncekileri yapabilmek şartıyla üçüncü sınıftan itibaren yetişkinliğe kadar kullanılabilir. Daha büyük basamaklarla tanışma esnasında bu basamaklara uygun sayı doğrularının kullanılması önerilebilir. 

Çocuğun bu becerisinin gelişip gelişmediğini kontrol etmek için çocuğun yaptığı tahminler ile belirtilen sayının işaretlenmesi gereken yer arasındaki farkın gittikçe azalıp azalmadığına bakılmalıdır. Örneğin; şeffaf asetat üzerine 0-10 sayı doğrusuna eşit uzunlukta bir şablon yapılıp, on eşit parçaya bölünür ve çocuğun işaretlediği sayı doğrusunun üzerine getirilerek sapma miktarı bulunur. Sapma miktarı eksi ya da artı onda biri geçiyorsa farklı sayılarla ve farklı zamanda aynı sayılarla tekrar tekrar yapılarak hata miktarları azaltılmaya çalışılır. 

Sıfır-10 sayı doğrusunda yeterli gelişme sağlandıktan sonra çocuğun bulunduğu sınıf ya da sayabildiği, okuyabildiği ve yazabildiği sayılar da dikkate alınarak 0-100 ve 0-1000 sayı doğrularında sayıların işaretlenmesi etkinliklerine geçilmelidir. 

Sıfır-100 sayı doğrusu için işaretlenen sayının olması gerekenden ne kadar saptığını bulmak için yapılacak şablonun 100 eşit parçaya bölünmesi gerekmektedir. Burada hata payının dolayısıyla yüzde birle ölçülmeli, ancak hatanın yaklaşık yüzde 5 sınırları içinde olup olmadığı kontrol edilmelidir. Benzer şekilde 0-1000 sayı doğrusunda da bölümleme 1000 eşit parçaya ayıracak şekilde olmalı ancak hata toleransı yaklaşık binde 25 civarında olmalıdır. 

Sayı doğrusu ölçme şablonları: 

Şablonlar asetata kopyalanırken birebir ölçekte kopyalanmalıdır. Eğer büyültme veya küçültme yapılmak istenirse etkinliklerde bulunan sayı doğruları ile yine aynı oranda yapılmalıdır. 

Bağlamsal tahmin

Bağlamsal tahmin [6]; verilen bir sayının bir bağlam içerisinde büyük, küçük ya da normal olup olmadığına karar vermektir. Bir başka deyişle bir sayı içinde bulunduğu ortam ya da duruma göre az, normal ya da çok olarak nitelenebilir. Örneğin “bir sınıfta 150 öğrenci” denildiği zaman içimizden “çok” demek geçerken “gökte 150 yıldız” için normal “150 pirinç tanesi” için ise “az” deme hissi uyanır. Bu yargı sayının bizim nazarımızda gördüğü işe bağlı olarak değişir ve yaşanılan deneyimlerle doğrudan ilgilidir. Dolayısıyla, çocuk sayı ile ilgili ne kadar farklı ve çok deneyim yaşarsa sayı hissi de o denli güçlü olacak demektir. Ayrıca tahminlerin hızlıca yapılması da önemlidir. 

Etkinlik: Tabloda verilen ifadelerin karşısına size uygun seçeneği işaretleyiniz. 

Algısal tahmin

Algısal tahmin [6] özellikle görme duyusu olmak üzere doğrudan duyu organlarımızı kullanarak bir miktarın ne kadar olduğu konusunda yargıda bulunmaktır (Bknz. Şekil 2). Algısal tahmin az miktarda zihinsel hesap ya da basit karşılaştırmalar içerebilir. Hatta böyle hesaplamalar içerdiği zaman yapılan tahmine “eğitimli tahmin” adı da verilmektedir. Zira bu tip tahmin gücümüz eğitildikçe ya da sistematik deneyimler yaşadıkça gelişmektedir.

Şekil 2. Bağlamsal tahmin için soru örneği

Diyelim ki, dört kişilik bir ailesiniz ve pazardan ya da marketten 2 kg elma almak istiyorsunuz. Tartıya vermek üzere torbaya kaç elma koyarsınız? Herhalde elmaların büyüklüğüne de bağlı olmak üzere dört, sekiz veya on tane civarında elma diye düşünürsünüz. Bu hissin geliştiğine dair en iyi örnek kuruyemişçilerdir. İki yüz gram ayçekirdeği istersiniz ve neredeyse bir hamlede torbaya koyduğu miktar üç aşağı beş yukarı iki yüz gramdır. Bu kadar hassas ölçümler yapabilmesinde bunu defalarca yapmış olmasının da payı vardır.

Algısal tahmin yoluyla çokluk, uzunluk, alan, hacim ve kütle gibi büyüklükler yaklaşık olarak tahmin edilebilir. Tahmin becerisinin gelişmesi için önce tahmin, sonra yerine göre sayma ya da ölçme yapılmalıdır. Böylece tahmin gücümüz arttıkça yapılan tahmin ile gerçek ölçüm arasındaki fark gittikçe azalacak ve sayı hissimiz de gelişecektir. 

Zihinden tam ve yaklaşık hesap yapma

Zihinden yaklaşık hesap yapabilmek önemli ölçüde sayı hissinin gelişmiş olmasına bağlı olsa da sayı hissinin geliştirilmesi için de zihinden işlem yapabilme becerilerinin geliştirilmesi gerekmektedir. Bunun için zihinden işlemlerin çeşitli stratejiler kullanılarak yapılması etkinlikleri yararlı olmaktadır. Örneğin, “18 tane kalem her biri 20 kuruştan kaç lira eder?” problemine zihinden yaklaşık bir çözüm üretmek için bu sayıları yaklaşık 20x20 şeklinde düşünebiliriz. Sonuç tam çıkmayacaktır ancak çok küçük, ihmal edilebilir bir farkla doğruya yakın olarak çıkacaktır. Biraz daha hassas hesap yapmak istenirse fazladan sayılan 2 tane yirmi sonuçtan çıkarılabilir ya da 2x18x10 şeklinde hesaplanabilir. 

Etkinlik: Aşağıdaki işlemleri zihinden hesap yoluyla yapınız. 

Birinci satırdan 6. satıra gittikçe işlemler zorlaşmasına rağmen işlem yapma hızınızın arttığını ve işlem yapabilme yeteneğinizin geliştiğini göreceksiniz. Burada önemli olan iki ayrıntı vardır: 1) İşlem yapılan sayıları diğer arkadaş canlı sayılar cinsinden düşünebilmek, 2) Bir önceki satırlarda öğrendiklerimizi yeni işlemlere tarnsfer edebilmektir. Örneğin; 15 + 16 işlemini 15 + 15 + 1 şeklinde arkadaş canlı sayılara çevirmek işlemi kolaylaştıracaktır. Bu strateji birkaç kez kullanıldığında, zihin bunu yapmakta ustalaşacak ve biz farkında olmadan bu ve benzeri işlemleri zihnimizden hızlıca yapmaya başlamış olacağız. Ancak hatırlatmakta yarar var, bir işlemi yapmanın birden çok yolu vardır. En doğru yol kişiye en kolay gelen yoldur. Öğrenciye farklı yollar da önerilebilir, ancak yine de hangisini kullanacağına kişi kendisi karar vermelidir. 

Etkinlik: Aşağıdaki zihinden yaklaşık hesap yoluyla yapılmış işlemi inceleyiniz. Yapılmayan işlemleri benzer stratejileri kullanarak yapınız. 

142 x 31 = 7 x 600 =4200 veya 1500 x 3 = 4500

Burada uygulanan strateji “çarpılacak sayıların daha yuvarlak ya da daha bildik (arkadaş canlı) sayılar haline getirilip çarpılmasıdır.” Tam bir sonuç yerine hızlı ve yaklaşık bir sonuç elde edilecektir.   

Teşekkür: Bu çalışmanın önemli bir bölümü TÜBİTAK tarafından 111K545 numaralı proje kapsamında sağlanan destek ile elde edilen veri ve bu süreçte edinilen bilgi birikimine dayalı olarak gerçekleştirilmiştir.

Prof. Dr. Sinan OLKUN

TED Üniversitesi, Eğitim Fakültesi Dekanı